Решить уравнение - это значит найти такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным.
Решение уравнения
- Представим уравнение в следующем виде:
2х * х - 3 * х = 0.
- Видим, что члены уравнения в левой части имеют общий множитель х. Вынесем его за скобки и запишем:
х * (2х - 3) = 0.
- Полученное выражение является произведением множителей х и (2х - 3). Вспомним, что произведение равно 0 в том случае, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, можно записать равенства:
х = 0 или 2х - 3 = 0.
- Значит одним из корней исходного уравнения является х 1 = 0.
- Найдем второй корень, решив уравнение 2х - 3 = 0.
В этом выражении 2х - уменьшаемое, 3 - вычитаемое, 0 - разность. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое:
В последнем выражении 2 и х - множители, 3 - произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель:
Таким образом, мы нашли второй корень уравнения: х 2 = 1,5.
Проверка правильности решения
Для того, чтобы узнать, правильно ли решено уравнение, необходимо подставить в него числовые значения х и выполнить необходимые арифметические действия. Если в результате вычислений получится, что левая и правая части выражения имеют одинаковое значение, то уравнение решено правильно.
Выполним проверку:
- Вычислим значение исходного выражения при х 1 = 0 и получим:
2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,
0 = 0, верно.
- Вычислим значение выражения при х 2 = 0 и получим:
2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,
2 * 2,25 - 4,5 = 0,
0 = 0, верно.
- Значит, уравнение решено правильно.
Ответ: х 1 = 0, х 2 = 1,5.
Решите уравнение х 2 +(1-х) 2 =х
Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.
В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.
В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.
Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.
По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?
Докажите истинность неравенства:
3. Решите уравнение:
Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.
Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.
Решите систему уравнений:
На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.
Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?
Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.
Решите систему уравнений:
Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.
Возможные решения задач
1. Ответ: х=1, х=0,5
От перестановки начальной цифры в конец значность числа не изменится. При этом, по условию задачи, должны получить число, в 5 раз большее первого числа. Следовательно, первая цифра искомого числа должна равняться 1 и только 1. (т.к. если первая цифра будет 2 или больше, то изменится значность, 2*5=10). При перестановке 1 в конец, полученное число оканчивается на 1, следовательно на 5 не делится.
Из условия следует, что если А и В – друзья, то С либо их общий враг, либо общий друг (иначе им троим не примириться). Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями.
Действительно, пусть А первым поссорился со своими друзьями и помирился со своими врагами, но тогда каждый их его бывших друзей будет с ним мириться, а бывшие враги останутся друзьями. Итак, все люди оказываются друзьями А, а следовательно, и друзьями между собой.
Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.
По условию, число делится на 37, поэтому и сумма
Делится на 37.
Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 180 0 . Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.
Возможные решения задач
1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,
2 выстрела по 9 очков,
1 выстрел по 10 очков.
Пусть x выстрелов сделал спортсмен, выбивая по 8 очков, y выстрелов по 9 очков, z выстрелов по 10 очков. Тогда можно составить систему:
Используя первое уравнение системы, запишем:
Из этой системы следует, что x + y + z =12
Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y +2 z =4 , откуда y =4-2 z , y =2(2- z ) . Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t , где .
Следовательно,
3. Ответ: х = -1/2, х = -4
После приведения дробей к одному знаменателю получаем
4. Ответ: 105
Обозначим через x , y , z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x , y , z удовлетворяют уравнению
7(10 x + z )=100 x +10 y + x , которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3 z =15 x +5 y .
Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.
Обозначим буквой F точку, в которой пересекаются прямые АВ и СЕ. Так как прямые DB и CF параллельны, то . Ввиду того, что BD – биссектриса угла АВС, заключаем, что . Отсюда следует, что , т.е. треугольник BCF равнобедренный и BC=BF. Но из условия следует, что четырехугольник BDEF – параллелограмм. Поэтому BF = DE, и, значит ВС = DE. Аналогично доказывается, что АС = DE. Это приводит к требуемому равенству.
Возможные решения задач
1.
Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .
Рассмотрим два случая.
а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у
б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у
Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.
Треугольники CDF и BDF имеют общее основание FD и равные высоты, так как прямые ВС и AD параллельны. Следовательно, их площади равны. Аналогично, равны площади треугольников BDF и BDE, так как прямая BD параллельна прямой EF. И равны площади треугольников BDE и BCE, так как АВ параллельна CD. Отсюда и следует требуемое равенство площадей треугольников CDF и BCE.
Учитывая область определения функции, построим график.
Используя формулу 
выполним дальнейшие преобразования
Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим
5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.
Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22 k +1 . После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22 k +1 должно делиться на k-1 . Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число
Является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).
Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k =2 и при k =24 .
Если k =2 , то n=45.
А если k =24 , то n=23.
Отсюда и из условия получаем, что только k =24 удовлетворяет всем условиям задачи.
Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529
Возможные решения задач
1. Ответ:
Тогда уравнение примет вид:
Получили квадратное уравнение относительно р .
2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)
Сложив уравнения системы, получим , или
Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .
Рассмотрим два случая.
а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим
б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или
В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.
Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида
ах 4 +
bx
2
+
c
= 0
, гдеа ≠ 0
, являющиеся квадратными относительно х 2 , и называются биквадратными
уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.
Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х 2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).
Например, решим уравнение х 4 + 4х 2 ‒ 5 = 0.
Обозначим х 2
через у
(х 2 = у
) и получим уравнение у 2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.
Решаем полученное уравнение:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
у 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
у 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Вернемся к нашей переменной х.
Получили, что х 2 = ‒ 5 и х 2 = 1.
Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х 1 = 1 и х 2 = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).
Ответ: - 1 и 1.
Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.
Пример 1. Решите уравнение 2х 4 ‒ 5 х 2 + 3 = 0.
Пусть х 2 = у, тогда 2у 2 ‒ 5у + 3 =0.
D = (‒ 5) 2 – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
у 1 = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.
Тогда х 2 = 1 и х 2 = 1,5.
Получаем х 1 = ‒1, х 2 = 1, х 3 = ‒ √1,5 , х 4 = √1,5.
Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Пример 2. Решите уравнение 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.
2у 2 + 5у + 2 =0.
D = 5 2 – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
у 1 = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Тогда х 2 = ‒ 2 и х 2 = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.
Ответ: решений нет.
Неполные биквадратные уравнения - это когда b = 0 (ах 4 + c = 0) или же c = 0
(ах 4 + bx 2 = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.
Пример 3. Решить уравнение х 4 ‒ 25х 2 = 0
Разложим на множители, вынесем х 2 за скобки и тогда х 2 (х 2 ‒ 25) = 0.
Получим х 2 = 0 или х 2 ‒ 25 = 0, х 2 = 25.
Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.
Ответ: 0; 5; – 5.
Пример 4. Решить уравнение 5х 4 ‒ 45 = 0 .
х 2 = ‒ √9 (решений не имеет)
х 2 = √9, х 1 = ‒ 3, х 2 = 3.
Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.
Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Loading...